习题3

3-1 什么是系统的状态转移矩阵?其意义是什么?

状态转移矩阵$\Phi \left(t\right)=e^{\mathbf{A}t}$，其意义在于:它反映了从初始时刻的状态$\mathbf{x}\left(0\right)$到任意$t>0$时刻的状态$\mathbf{x}\left(t\right)$的一种变换关系。

3-2 列出状态转移矩阵的基本性质。

（1）$\Phi \left(0\right)=\mathbf{I}$

（2）$\dot{\Phi }\left(t\right)=\mathbf{A}\Phi \left(t\right)=\Phi \left(t\right)\mathbf{A}$

（3）可逆性：${\Phi }^{-1}\left(t\right)=\Phi \left(-t\right)$

（4）分解性：$\Phi \left(t+s\right)=\Phi \left(t\right)\Phi \left(s\right)$

3-3 线性定常系统的状态转移矩阵计算方法有哪些?

线性定常系统状态转移矩阵的计算方法主要有以下4种:幂级数法、Laplace变换法、线性变换法和凯莱-哈密顿法。

3-4 计算下列矩阵$\mathbf{A}$的矩阵指数函数$e^{\mathbf{A}t}$

计算矩阵指数函数 $e^{\mathbf{A}t}$ 常用的方法是拉普拉斯反变换法，即利用公式：

下面分别计算这三个矩阵的指数函数：

（1） $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -5\end{array}\right]$

首先计算 $s\mathbf{I}-\mathbf{A}$：

求其逆矩阵 $(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}$。该矩阵的行列式为 $|s\mathbf{I}-\mathbf{A}|=s(s+5)$：

对矩阵中的元素进行部分分式展开： $\frac{1}{s(s+5)}=\frac{1/5}{s}-\frac{1/5}{s+5}$

对其求拉普拉斯反变换：

（2） $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

计算 $s\mathbf{I}-\mathbf{A}$：

求其逆矩阵，行列式为 $s^2-1$：

查拉普拉斯变换表或进行部分分式展开（$\frac{s}{s^2-1}=\frac{1/2}{s-1}+\frac{1/2}{s+1}$，$\frac{1}{s^2-1}=\frac{1/2}{s-1}-\frac{1/2}{s+1}$）：

或者写成指数形式：

（3） $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}0& 6\\ -1& -5\end{array}\right]$

计算 $s\mathbf{I}-\mathbf{A}$：

求其逆矩阵，行列式为 $s(s+5)-(-6)=s^2+5s+6=(s+2)(s+3)$：

对每个元素进行部分分式展开：

• 左上角：$\frac{s+5}{(s+2)(s+3)}=\frac{3}{s+2}-\frac{2}{s+3}$

• 右上角：$\frac{6}{(s+2)(s+3)}=\frac{6}{s+2}-\frac{6}{s+3}$

• 左下角：$\frac{-1}{(s+2)(s+3)}=\frac{-1}{s+2}+\frac{1}{s+3}$

• 右下角：$\frac{s}{(s+2)(s+3)}=\frac{-2}{s+2}+\frac{3}{s+3}$

求各元素的拉普拉斯反变换：xi

3-5

这是一道关于线性定常系统（LTI）状态转移矩阵的经典求逆题目。

⚠️ 原题印刷错误说明

在直接求解之前，需要指出图片题目中的一处明显印刷错误。矩阵左下角的元素印成了 $-5e^{-t}+5e^{-2t}$。

根据矩阵的另外三个元素可以反推出，该系统的系统矩阵为 $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]$。如果通过拉普拉斯逆变换 ${\mathcal{L}}^{-1}\{(sI-A{)}^{-1}\}$ 进行正向理论推导，左下角的元素必须是 $-2e^{-t}+2e^{-2t}$。

如果保留数字 $5$，该矩阵将不再具备状态转移矩阵 $e^{At}$ 的核心代数性质，常规的简便算法也将失效。为了符合控制工程的物理和数学逻辑，以下解答基于修正后的正确矩阵进行：

求解过程

对于线性定常系统，状态转移矩阵 $\Phi (t)=e^{At}$ 具有一个极其重要的基本性质：

这意味着，我们完全不需要通过计算行列式和伴随矩阵的繁琐方法来求逆。只需将原矩阵中的所有时间变量 $t$ 替换为 $-t$ 即可。

计算结果

将修正后矩阵中的 $t$ 全部替换为 $-t$，得到逆矩阵：

化简后即为最终答案：

(注：如果仅从纯代数角度对印有数字 5 的原矩阵强行求伴随矩阵求逆，其行列式为 $3e^{-2t}-5e^{-3t}+3e^{-4t}$，结果会产生极度复杂的有理分式矩阵，这在控制理论习题中是不合逻辑的，因此可以100%确信原书存在印刷排版错误。)

习题4

3-6

这是一道关于状态转移矩阵基本性质的验证与求解题。解题的核心在于利用状态转移矩阵 $\Phi (t)=e^{At}$ 的两个关键数学性质。

我们分两步来解答：

第一步：验证是否满足状态转移矩阵的条件

状态转移矩阵最基本且必须满足的初始条件是：当 $t=0$ 时，状态转移矩阵必须等于单位矩阵 $I$，即 $\Phi (0)=I$。

我们将 $t=0$ 代入给定的矩阵中：

由于 $e^0=1$，化简得到：

结论： 该矩阵满足 $\Phi (0)=I$，因此它满足状态转移矩阵的条件。

第二步：求相应的系统矩阵 $A$

根据状态转移矩阵的导数性质，我们知道：

如果在 $t=0$ 时刻取值，则有：

因此，求系统矩阵 $A$ 只需要对 $\Phi (t)$ 求导，然后将 $t=0$ 代入即可。

1. 先对 $\Phi (t)$ 求导：

分别对四个元素求导：

• 左上角：$\frac{1}{2}(-e^{-t}-3e^{-3t})$

• 右上角：$\frac{1}{4}(e^{-t}-3e^{-3t})$

• 左下角：$e^{-t}-3e^{-3t}$

• 右下角：$\frac{1}{2}(-e^{-t}-3e^{-3t})$

得到导数矩阵：

2. 将 $t=0$ 代入 $\dot{\Phi }(t)$ 求 $A$：

化简后得到最终的系统矩阵：

验算小技巧： 矩阵 $A$ 的特征值可以通过 $\det (\lambda I-A)=0$ 求得，计算可得特征值为 ${\lambda }_1=-1$, ${\lambda }_2=-3$。这与原矩阵中指数项 $e^{-t}$ 和 $e^{-3t}$ 的系数完美吻合，证明计算结果是正确的。

3-7

这是一道考察线性定常系统（LTI）状态转移矩阵和系统矩阵求解的经典题目。我们可以利用状态转移矩阵的基本关系式 $x(t)=\Phi (t)x(0)$ 来进行求解。

（1）求系统的状态转移矩阵 $\Phi (t)$

根据题意，我们可以将给定的两组初始状态和对应的状态响应组合成矩阵形式。 令初始状态矩阵为 $X(0)$，状态响应矩阵为 $X(t)$，则有：

根据关系式 $X(t)=\Phi (t)X(0)$，可以得到状态转移矩阵的求解公式：

第一步：求 $X(0)$ 的逆矩阵

第二步：计算 $\Phi (t)$ 将 $X(t)$ 和 $X^{-1}(0)$ 相乘：

进行矩阵乘法展开并合并同类项：

• 左上角: $(2{\text{e}}^{-2t})(1)+({\text{e}}^{-t}+2t{\text{e}}^{-2t})(-1)=-{\text{e}}^{-t}+2{\text{e}}^{-2t}-2t{\text{e}}^{-2t}$

• 右上角: $(2{\text{e}}^{-2t})(-1)+({\text{e}}^{-t}+2t{\text{e}}^{-2t})(2)=2{\text{e}}^{-t}-2{\text{e}}^{-2t}+4t{\text{e}}^{-2t}$

• 左下角: $({\text{e}}^{-t})(1)+({\text{e}}^{-t}+t{\text{e}}^{-t})(-1)=-t{\text{e}}^{-t}$

• 右下角: $({\text{e}}^{-t})(-1)+({\text{e}}^{-t}+t{\text{e}}^{-t})(2)={\text{e}}^{-t}+2t{\text{e}}^{-t}$

得到最终的状态转移矩阵：

（2）求系统矩阵 $A$

根据状态转移矩阵的性质 $\dot{\Phi }(t)=A\Phi (t)$，在 $t=0$ 时有 $A=\dot{\Phi }(0)$。 同样地，我们也可以利用 $X(t)$ 直接计算：$\dot{X}(t)=AX(t)$，因此 $A=\dot{X}(0)X^{-1}(0)$。这种方法计算量相对较小。

第一步：求 $\dot{X}(t)$ 对 $X(t)$ 的每个元素求导：

第二步：代入 $t=0$

第三步：计算 $A$

⚠️ 附加数学分析（关于原题可能存在的印刷错误）

以上是严格按照图片文字字面意思进行的推导计算，这也是考试中应有的标准答题步骤。但是，从控制理论的角度来看，这道题的印刷大概率存在两处笔误。

我们求出的矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}-5& 6\\ -1& 1\end{array}\right]$，其特征值为 $\lambda =-2\pm \sqrt{3}$（无理数）。一个真实 LTI 系统的响应中应该只包含 ${\text{e}}^{(-2+\sqrt{3})t}$ 等项，而不可能出现题目中给定的纯粹的 ${\text{e}}^{-t}$、${\text{e}}^{-2t}$ 甚至 $t{\text{e}}^{-t}$ 这种形态。响应中同时出现 ${\text{e}}^{-t}$ 和 $t{\text{e}}^{-t}$ 强烈暗示该系统实际上应该有一个重根 $\lambda =-1$。

如果这是一道严谨的 LTI 题目，原题中带有 -2t 的指数大概率都是印错了，合理的原题应该是：

• $x_1(t)$ 的第一项 $2{\text{e}}^{-2t}$ 应该为 $2{\text{e}}^{-t}$

• $x_2(t)$ 的右上项 $2t{\text{e}}^{-2t}$ 应该为 $2t{\text{e}}^{-t}$

如果按照修正后的正确重根逻辑进行推导，系统矩阵会是一个非常干净的结果：$A=\left[\begin{array}{cc}-3& 4\\ -1& 1\end{array}\right]$，其特征值恰好为标准的 $-1,-1$ 重根。建议在作业或考试中，按照第一部分的字面步骤作答，但心里清楚这里的理论冲突即可。

4-7

这是一道关于线性定常系统（LTI）能控性判断的经典习题。

判断系统 $\dot{x}=Ax+Bu$ 是否能控，最常用的方法是卡尔曼能控性秩判据：对于 $n$ 维系统，构造能控性判别矩阵 $Q_c=[BAB{A}^{2}B\dots A^{n-1}B]$。如果该矩阵的秩等于系统的维数 $n$（即 $\text{rank}(Q_c)=n$ 满秩），则系统是状态完全能控的。

下面我们逐一分析这三小题：

(1) 系统的能控性判断

已知 $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -5\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$。

第一步：确定系统维数 矩阵 $A$ 是 $2\times 2$ 矩阵，所以系统维数 $n=2$。能控性判别矩阵只需计算到 $AB$。

第二步：计算 $AB$

第三步：构造并判断能控性矩阵 $Q_c$

计算其行列式：$\det (Q_c)=0\times (-5)-1\times 1=-1\ne 0$。 因为行列式不为零，所以 $\text{rank}(Q_c)=2=n$。

结论： 该系统是完全能控的。

(2) 系统的能控性判断

已知 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$。

第一步：确定系统维数 系统维数 $n=2$。

第二步：计算 $AB$

第三步：构造并判断能控性矩阵 $Q_c$

计算其行列式：$\det (Q_c)=0\times 0-1\times 1=-1\ne 0$。 同样，$\text{rank}(Q_c)=2=n$。

结论： 该系统是完全能控的。

(3) 系统的能控性判断

已知 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& -4& -3\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ -1& 1\end{array}\right]$。

第一步：确定系统维数 矩阵 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，所以系统维数 $n=3$。完整的能控性判别矩阵为 $Q_c=[BAB{A}^{2}B]$，由于 $B$ 有两列，只要我们能在前几列中找到一个 $3\times 3$ 的满秩子矩阵，就可以提前得出能控的结论，不必把所有项都算完。

第二步：计算 $AB$

第三步：构造并判断能控性矩阵 $Q_c$ 我们将 $B$ 和 $AB$ 拼起来，得到一个 $3\times 4$ 的矩阵：

为了判断它的秩是否为 3，我们取出它的前三列，构成一个 $3\times 3$ 的子矩阵，并计算其行列式：

由于该 $3\times 3$ 子矩阵的行列式 $2\ne 0$，说明矩阵 $[BAB]$ 的秩已经是 3 了。因此，整个能控性矩阵 $Q_c$ 的秩必定也是 $3$（即 $\text{rank}(Q_c)=3=n$），不需要再计算繁琐的 $A^{2}B$。

结论： 该系统是完全能控的。

4-8

原来这才是这道题完整的全貌！加上了“试确定系统的状态能控性和输出能控性”这一句后，考点就非常明确了。上一轮我们已经计算过状态能控性，这里我们将针对状态和输出能控性给出完整的解答步骤。

从题目中提取系统的矩阵参数：

• 系统矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right]$

• 输入矩阵 $B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

• 输出矩阵 $C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$

• 直接传递矩阵 $D=0$（由于未给出，默认为零矩阵）

系统的状态维数为 $n=2$，输出维数为 $m=1$。

1. 状态能控性 (State Controllability)

判断系统的状态能控性，需要构造状态能控性判别矩阵 $Q_c=[BAB]$，并检查其秩是否满秩（即秩是否等于系统维数 $n$）。

计算过程： 首先计算 $AB$：

构造状态能控性矩阵 $Q_c$：

秩的判断： 计算 $Q_c$ 的行列式：$\det (Q_c)=0\times 1-0\times 1=0$。 因为矩阵不满秩，$\text{rank}(Q_c)=1<n=2$。

结论： 该系统是状态不完全能控的（或简称为状态不能控）。

2. 输出能控性 (Output Controllability)

输出能控性研究的是控制输入 $u(t)$ 能否在有限时间内将系统的输出 $y(t)$ 转移到任意期望的终点。对于有 $m$ 个输出的系统，需要构造输出能控性判别矩阵 $Q_{oc}$，并检查其秩是否等于输出维数 $m$。

输出能控性矩阵的构造公式为：

计算过程： 在本题中，$n=2$，所以我们需要计算 $CB$ 和 $CAB$。

• 计算 $CB$：

• 计算 $CAB$（直接利用刚才算好的 $AB$）：

构造输出能控性矩阵 $Q_{oc}$：

秩的判断： 系统的输出是 1 维的（标量），即 $m=1$。 显然，矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\end{array}\right]$ 中存在非零元素，因此其秩为 1。 $\text{rank}(Q_{oc})=1=m$。

结论： 该系统是输出完全能控的。

💡 结论背后的系统机理

这道题展示了一个控制理论中非常经典的情形：系统虽然状态不能控，但输出却是能控的。

如果你观察原状态方程：

• ${\dot{x}}_1=x_1$

• ${\dot{x}}_2=2x_1+x_2+u$

由于输入 $u$ 根本不出现在 ${\dot{x}}_1$ 的方程中，而且 $x_2$ 也影响不到 $x_1$，这就意味着无论你施加什么样的控制 $u$，都无法改变内部状态 $x_1$ 的运动轨迹。这就是系统“状态不能控”的物理本质。

然而，系统的输出仅仅是 $y=x_2$。在 ${\dot{x}}_2$ 的方程中，输入 $u$ 可以直接施加影响。因此，虽然我们管不了 $x_1$ 怎么跑，但我们可以通过调节 $u$ 把 $x_2$（也就是输出 $y$）拉到我们想要的任何数值。这就是系统“输出完全能控”的原因。

4-9

这是一道经典的含有未知参数的系统综合题。我们需要分别通过能控性判据和能观性判据，找出让系统同时满足这两个条件的参数关系。

首先，从题目中提取出系统的参数矩阵：

• 系统矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& b\end{array}\right]$

• 输入矩阵 $B=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

• 输出矩阵 $C=\left[\begin{array}{cc}1& -1\end{array}\right]$

系统维数为 $n=2$。

1. 能控性条件分析

要使系统能控，能控性判别矩阵 $Q_c=[BAB]$ 必须满秩（即行列式不为零）。

第一步：计算 $AB$

第二步：构造能控性矩阵 $Q_c$ 并求行列式

第三步：得出能控条件 令 $\det (Q_c)\ne 0$，得到系统能控的条件：

2. 能观性条件分析

要使系统能观，能观性判别矩阵 $Q_o=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\end{array}\right]$ 必须满秩（即行列式不为零）。

第一步：计算 $CA$

第二步：构造能观性矩阵 $Q_o$ 并求行列式

第三步：得出能观条件 令 $\det (Q_o)\ne 0$，得到系统能观的条件：

最终结论

通过分别推导，我们发现能控性条件和能观性条件殊途同归，得出了完全相同的数学不等式。

因此，为使系统同时能控且能观，参数 $a$ 和 $b$ 应满足的关系式为：

💡 进阶视角（传递函数验证）： 如果我们计算该系统的传递函数 $G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B$，会得到：

$$G(s)=\frac{a-b+1}{(s-a)(s-b)}$$

从传递函数可以看出，系统的两个极点分别是 $s=a$ 和 $s=b$。分子恰好是一个常数 $(a-b+1)$。 如果 $b-a=1$（即 $a-b+1=0$），传递函数的分子将变成 0，整个传递函数 $G(s)=0$。在经典控制理论中，传递函数为 0 意味着输入对输出毫无影响，系统中发生了极度严重的“零极点对消”（所有的动态特性都被隐藏了），这必然导致系统不能控或不能观。这从另一个侧面完美印证了我们矩阵推导结果的正确性。

4-10

这是一道关于线性定常系统（LTI）能观性（Observability）判断的习题。

判断系统能观性的标准方法是使用卡尔曼能观性秩判据：对于 $n$ 维系统，构造能观性判别矩阵 $Q_o=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]$。如果该矩阵的秩等于系统的维数 $n$（即 $\text{rank}(Q_o)=n$ 满秩），则系统是状态完全能观的。

下面我们逐一计算这两小题：

(1) 系统的能观性判断

已知系统矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，输出矩阵 $C=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]$。

第一步：确定系统维数 矩阵 $A$ 是 $2\times 2$ 矩阵，所以系统维数 $n=2$。能观性判别矩阵为 $Q_o=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\end{array}\right]$。

第二步：计算 $CA$

第三步：构造并判断能观性矩阵 $Q_o$

计算其行列式：

因为行列式不为零，所以矩阵满秩，即 $\text{rank}(Q_o)=2=n$。

结论： 该系统是完全能观的。

(2) 系统的能观性判断

已知系统矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& -4& -3\end{array}\right]$，输出矩阵 $C=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{array}\right]$。

第一步：确定系统维数 矩阵 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，所以系统维数 $n=3$。完整的能观性判别矩阵应包含 $C,CA,C{A}^2$。但由于 $C$ 本身有两行，我们可以先计算 $CA$，如果由 $C$ 和 $CA$ 组合成的矩阵中已经能找出一个 $3\times 3$ 的满秩子矩阵，就可以提前得出系统能观的结论，无需计算繁琐的 $C{A}^2$。

第二步：计算 $CA$

逐行计算：

• 第一行：$[0(0)+1(0)-1(-2),0(1)+1(0)-1(-4),0(0)+1(1)-1(-3)]=[2,4,4]$

• 第二行：$[1(0)+2(0)+1(-2),1(1)+2(0)+1(-4),1(0)+2(1)+1(-3)]=[-2,-3,-1]$ 所以，

第三步：构造并判断能观性矩阵 $Q_o$ 我们将 $C$ 和 $CA$ 上下拼接，得到一个 $4\times 3$ 的矩阵：

为了判断它的秩是否为 3，我们尝试取出它的前三行构成一个 $3\times 3$ 子矩阵，并计算其行列式：

按第一行展开计算行列式：

由于该 $3\times 3$ 子矩阵的行列式 $-2\ne 0$，说明矩阵 $\left[\begin{array}{c}C\\ CA\end{array}\right]$ 的秩至少为 3。又因为该矩阵只有 3 列，其秩最大只能是 3。因此，整个能观性判别矩阵 $Q_o$ 的秩必定是 3。 即 $\text{rank}(Q_o)=3=n$。

结论： 该系统是完全能观的。

4-12

这道题要求我们将一个已知的完全能控系统转化为能控标准型。

将状态空间方程转化为能控标准型的核心在于求出新的系统矩阵 $\bar{A}$、$\bar{B}$ 和 $\bar{C}$。我们可以通过求取原系统矩阵 $A$ 的特征多项式，结合能控性矩阵 $Q_c$ 和变换矩阵 $P$ 来快速求解。

从题目中提取原系统矩阵：

第一步：求特征多项式，直接写出 $\bar{A}$ 和 $\bar{B}$

计算系统矩阵 $A$ 的特征多项式：

按第三行展开计算行列式：

将其与标准多项式形式 ${\lambda }^3+a_2{\lambda }^2+a_1\lambda +a_0$ 进行对比，得到各项系数：

根据能控标准型的结构性质，可以直接写出转化后的 $\bar{A}$ 和 $\bar{B}$：

• $\bar{A}$ 的最后一行由多项式系数的负数构成（$-a_0,-a_1,-a_2$）。

• $\bar{B}$ 为标准列向量。

第二步：求变换矩阵 $P$，进而求出 $\bar{C}$

为了求出新的输出矩阵 $\bar{C}$，我们需要找到相似变换矩阵 $P$。利用公式 $P=Q_{c}W$ 可以快速求解。

1. 计算系统的能控性矩阵 $Q_c$：